Ιωάννης Π. Ζώης
(Είναι άραγε τυχαίο που η μακροσκοπική διάσταση του σύμπαντος είναι 4;)
Στις 30 Απριλίου 2011 απεβίωσε στην Οξφόρδη ένας εκ των καθηγητών του γράφοντος, ο Daniel Gray Quillen, από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του δεύτερου μισού του 20ου αιώνα, κάτοχος πλήθους τιμητικών διακρίσεων μεταξύ των οποίων και το Fields Medal. Οι συνεισφορές του στα μαθηματικά ήταν πολλές, σταχυολογούμε την Ανώτερη Αλγεβρική Κ-Θεωρία, την θεωρία μιγαδικής συνομορίας, την ρητή θεωρία ομοτοπίας, την απόδειξη της εικασίας Adams, την απόδειξη της εικασίας Serre, την κυκλική συνομολογία των αλγεβρών Lie, την μη-μεταθετική γεωμετρία κλπ. Την άνοιξη του 2010 ο γράφων είχε την ευκαιρία να παρουσιάσει μερικά από αυτά τα θέματα στην Ελλάδα με μια σειρά μεταπτυχιακών διαλέξεων στο Πανεπιστήμιο Αθηνών (Αλγεβρική Κ-Θεωρία και μετεξελίξεις αυτής-- όπως πχ η λεγόμενη motivic cohomology, norm-residue isomorphism theorem (Bloch-Kato conjecture), Rost-Voevodsky theorem και Quillen-Lichtenbaum conjecture). Το παρόν άρθρο είναι μια ελάχιστη συνεισφορά στη μνήμη του.
Οι Αρχαίοι Έλληνες πίστευαν ότι τα μαθηματικά είναι η μελέτη των αριθμών και των σχημάτων, με τη σύγχρονη επιστημονική γλώσσα δηλαδή αναφέρονταν στη θεωρία αριθμών και στη γεωμετρία. Βέβαια με το πέρασμα των αιώνων αναπτύχθηκαν και πολλοί άλλοι κλάδοι στα μαθηματικά αλλά αυτοί οι δύο εξακολουθούν να είναι στην πρώτη γραμμή της έρευνας μέχρι σήμερα (κάτι σαν το «πεζικό» και το «ιππικό/τεθωρακισμένα» στο στρατό ξηράς για να μιλήσουμε με στρατιωτική ορολογία). Σε αυτό το εκλαϊκευτικό άρθρο θα επιχειρήσουμε να διαφωτίσουμε το ευρύτερο κοινό για θέματα της σύγχρονης Γεωμετρίας. Σε πολλά σημεία εν γνώσει μας θα υπεραπλουστεύσουμε και θα παραλείψουμε πολλές (ίσως σημαντικές) λεπτομέρειες, ζητάμε την κατανόηση των ειδικών. Το άρθρο απευθύνεται κυρίως σε αναγνώστες με κάποιο πτυχίο πανεπιστημιακών σχολών θετικών επιστημών ή πολυτεχνικών σχολών (αλλά παρακαλούμε και όλους τους υπόλοιπους να μην αποθαρρυνθούν να το διαβάσουν!)
Γενικά είναι πιο δύσκολο να γράψει κανείς ένα εκλαϊκευτικό άρθρο στα μαθηματικά παρά στη φυσική ή σε κάποια άλλη επιστήμη. Ο λόγος είναι ότι τα μαθηματικά αφορούν ένα θεωρητικό κόσμο «μοντέλων» από τον οποίο εξάγουμε πρότυπα για να προσεγγίσουμε τα φυσικά συστήματα. Η συζήτηση αναπόδραστα θα εμπεριέχει τεχνικές λεπτομέρειες δύσκολα κατανοητές στους μη-ειδικούς, άλλωστε τα μαθηματικά ως επιστήμη είναι ίσως η πιο απαιτητική από πλευράς ευφυίας και φαντασίας. Ο μόνος κλάδος των μαθηματικών που ενίοτε προσφέρεται για εκλαϊκευτικά άρθρα και βιβλία είναι η θεωρία αριθμών διότι εκεί, μερικές φορές, η διατύπωση εξαιρετικά δύσκολων προβλημάτων είναι τόσο απλή που γίνεται κατανοητή ακόμη και σε μαθητές Δημοτικού (μιλάμε μόνο για την διατύπωση των προβλημάτων, οι αποδείξεις βέβαια είναι άλλο θέμα). Για παράδειγμα το τελευταίο θεώρημα του Fermat: Δεν υπάρχει τριάδα φυσικών αριθμών x,y,z που να ικανοποιεί την «γενίκευση» του Πυθαγόρειου Θεωρήματος xn + yn = zn για εκθέτες φυσικούς αριθμούς n>2. Η εξίσωση αυτή αποτελεί παράδειγμα μιας Διοφαντικής εξίσωσης. Αν και διάφορες περιπτώσεις είχαν αποδειχθεί παλαιότερα, η γενική περίπτωση αποδείχθηκε το 1993 από τον Βρετανό μαθηματικό Andrew Wiles με τη βοήθεια του φοιτητή του, επίσης Βρετανού Richard Taylor (βλ. σημείωση [1] στο τέλος). Αν και η διατύπωση φαντάζει «αθώα», η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat είναι εξαιρετικά πολύπλοκη, καλύπτει δεκάδες σελίδες και επιτυγχάνεται μέσω μιας μεγάλης διαδρομής διαμέσου ελλειπτικών καμπύλων, modular forms (το σημείο που συνεισέφερε ο Taylor), της εικασίας Shimura-Taniyama κλπ. Δεύτερο παράδειγμα επίσης από την θεωρία αριθμών είναι η εικασία Goldbach: Κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 προκύπτει ως άθροισμα 2 πρώτων αριθμών (πχ, 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=7+3 κλπ). Η εικασία αυτή δεν έχει αποδειχθεί μέχρι και σήμερα. Κατά γενική ομολογία το σημαντικότερο ανοιχτό πρόβλημα σε ολόκληρη την μαθηματική επιστήμη σήμερα θεωρείται η εικασία Riemann που αφορά την κατανομή των μηδενικών της μιγαδικής συνάρτησης ζ του Riemann: Πιο συγκεκριμένα δηλώνει ότι όλα τα μη-τετριμμένα μηδενικά έχουν πραγματικό μέρος ½ και σχετίζεται με την κατανομή των πρώτων αριθμών μέσα στους φυσικούς. Μέχρι στιγμής η εικασία έχει αποδειχθεί για ποικιλίες (varieties, βλ. παρακάτω) σε πεπερασμένα σώματα από τον Βέλγο Piere Deligne, έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς εν ζωή, κάτοχο του Fields Medal.
Μετά από αυτά τα γενικά σχόλια ας περάσουμε στο κύριο θέμα του άρθρου, την γεωμετρία. H σύγχρονη γεωμετρία βασικά χωρίζεται σε 2 κλάδους, την διαφορική γεωμετρία που ασχολείται με την μελέτη πολλαπλοτήτων (manifolds) και την αλγεβρική γεωμετρία που ασχολείται με την μελέτη ποικιλιών (varieties) (βλ. [2]). Οι ποικιλίες σχετίζονται με αλγεβρικές εξισώσεις ενώ οι (λείες) πολλαπλότητες με διαφορικές εξισώσεις. Θα ασχοληθούμε με τις πολλαπλότητες (διαφορική γεωμετρία). Τι ακριβώς όμως είναι μια πολλαπλότητα?
Φανταστείτε ότι έχετε ένα σύνολο από χάρτινους επίπεδους κυκλικούς δίσκους και ότι μπορείτε αυτούς τους δίσκους να τους ενώσετε κολλώντας τους. Είναι προφανές ότι αυτή η διαδικασία μπορεί να οδηγήσει στη δημιουργία μιας μεγάλης ποικιλίας επιφανειών ανάλογα με τον τρόπο που κολλάτε αυτούς τους δίσκους μεταξύ τους. Οι κάθε είδους επιφάνειες αποτελούν πολλαπλοτήτες διάστασης 2. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα πολλαπλοτήτων διάστασης 2:
Τorus (ντόνατ)
Φιάλη Klein
Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την φαντασία μας και γενικεύουμε: Αν αντικαταστήσουμε τους δίσκους με κάποιες μπάλες διάστασης n (ή υποσύνολα αυτών) μέσα στον Ευκλείδειο χώρο επίσης διάστασης n, με ανάλογο τρόπο αποκτάμε πολλαπλότητες διάστασης n. O μαθηματικός ορισμός λοιπόν, αποφεύγοντας τον αυστηρό φορμαλισμό, λέγει ότι μια πολλαπλότητα διάστασης n είναι ένας χώρος που τοπικά μοιάζει με τον Ευκλείδειο χώρο διάστασης n αλλά συνολικά μπορεί να έχει πολύπλοκο σχήμα (βλ. [3], [4]). Είναι σαφές ότι διαισθητική εικόνα μπορούμε να έχουμε μόνο μέχρι την διάσταση 3. Το σημείο κλειδί του ορισμού είναι ότι μια πολλαπλότητα μοντελοποιείται πάνω στον Ευκλείδειο χώρο (βλ. [5]) οπότε μπορούμε να μεταφέρουμε πολλές γνωστές δομές και εργαλεία (πχ τον διαφορικό και ολοκληρωτικό διανυσματικό λογισμό) στο κατά πολύ γενικότερο αυτό πλαίσιο. Αν και δεν υπάρχει ομοφωνία, ιστορικά ο πατέρας του ορισμού της πολλαπλότητας θεωρείται μάλλον ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός Henri Poincaré, ο ορισμός δόθηκε περίπου στα τέλη του 19ου αιώνα. Εδώ έχει σημασία να αναφέρουμε ότι η έννοια της πολλαπλότητας δεν την σκέφτηκε κάποιος «διεστραμμένος» μαθηματικός εγκέφαλος αλλά αυτή εμφανίζεται με φυσικό τρόπο σε πολλές εφαρμογές, η πιο γνωστή ίσως είναι στη Γενική Θεωρία Σχετικότητας που υποθέτει ότι ο χωρόχρονος αποτελεί πολλαπλότητα διάστασης 4, άλλο κλασικό παράδειγμα είναι ο χώρος των φάσεων στη μηχανική κλπ. (Για ευκολία παρακάτω θα γράφουμε n-πολλαπλότητα αντί πολλαπλότητα διάστασης n).
(Σχεδόν) όλα τα προβλήματα των μαθηματικών μπορεί να αναχθούν σε προβλήματα κατηγοριοποίησης: Επιλέγουμε την μαθηματική δομή που θέλουμε να μελετήσουμε, ορίζουμε κάποια σχέση ισοδυναμίας και στη συνέχεια προσπαθούμε να κατηγοριοποιήσουμε τις δομές με βάση την επιλεγείσα σχέση ισοδυναμίας. Στις περισσότερες περιπτώσεις αυτό γίνεται μέσω ορισμού κάποιων κατάλληλων αναλλοίωτων (ως προς την επιλεγείσα σχέση ισοδυναμίας) ποσοτήτων. Ένα παράδειγμα από την γραμμική άλγεβρα που θα είναι γνωστό σε πολλούς είναι το εξής: Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε την δομή που λέγεται (πραγματικός ή μιγαδικός) διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης. Επιλέγουμε ως σχέση ισοδυναμίας τον ισομορφισμό μεταξύ διανυσματικών χώρων (απεικόνιση 1-1 και επί) και θέλουμε να κατηγοριοποιήσουμε τους διανυσματικούς χώρους ως προς ισομορφισμό. Η κατηγοριοποίηση επιτυχγάνεται μέσω της αναλλοίωτης ποσότητας που λέγεται διάσταση διανυσματικού χώρου με τη χρήση του γνωστού θεωρήματος της γραμμικής άλγεβρας που λέγει ότι δυο διανυσματικοί χώροι είναι ισόμορφοι εάν και μόνο εάν έχουν την ίδια διάσταση.
Το βασικό πρόβλημα λοιπόν της διαφορικής γεωμετρίας (γεωμετρική τοπολογία) είναι η κατηγοριοποίηση των πολλαπλοτήτων. Στην συζήτηση μας εδώ θα ασχοληθούμε με πολλαπλότητες που κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας διαφορίσιμες απεικονίσεις. Το ισχυρό κίνητρο προέρχεται από το γεγονός ότι θα επιθυμούσαμε να γενικεύσουμε τον διαφορικό και ολοκληρωτικό (διανυσματικό) λογισμό (που τον ξέρουμε για Ευκλείδειους χώρους) και άρα να έχουμε για παράδειγμα την δυνατότητα να επιλύουμε διαφορικές εξισώσεις πάνω σε γενικότερους χώρους (πολλαπλότητες), κάτι τέτοιο θα είναι εξαιρετικά χρήσιμο στη φυσική (και όχι μόνο). Άρα θα εστιάσουμε στις λείες πολλαπλότητες και η φυσική σχέση ισοδυναμίας είναι ο διαφορομορφισμός. Συνεπώς θέλουμε να κατηγοριοποιήσουμε (σε κάθε διάσταση) τις λείες πολλαπλότητες ως προς διαφορομορφισμό (βλ. [6]).
Το πρόβλημα κατηγοριοποίησης έχει δυο συμπληρωματικά μέρη: Στο πρώτο μέρος θέλουμε να κατασκευάσουμε αναλλοίωτες ποσότητες για πολλαπλότητες. Το πρώτο ιστορικό παράδειγμα μιας τέτοιας ποσότητας είναι η λεγόμενη χαρακτηριστική Euler, ένας ακέραιος αριθμός που ορίζεται σε κάθε (συμπαγή) πολλαπλότητα με την ιδιότητα εάν δυο πολλαπλότητες είναι διαφορομορφικές τότε έχουν την ίδια χαρακτηριστική Euler. Στο δεύτερο μέρος προσπαθούμε να κατασκευάσουμε διαφορομορφισμούς μεταξύ πολλαπλοτήτων και να αποδείξουμε ότι δυο πολλαπλότητες είναι ισοδύναμες κάτω από κατάλληλες υποθέσεις.
Στην καρδιά του προβλήματος της κατηγοριοποίησης των πολλαπλοτήτων βρίσκεται η φημισμένη εικασία Poincaré. Αρχικά διατυπώθηκε από τον ίδιο τον Poincaré για την περίπτωση της διάστασης 3: “Κάθε συμπαγής (χονδρικά αυτό σημαίνει πως έχει πεπερασμένη έκταση, για να είμαστε αυστηροί προσθέτουμε και τον περιορισμό και χωρίς σύνορο) πολλαπλότητα διάστασης 3 με την ιδιότητα κάθε απλή κλειστή καμπύλη πάνω σε αυτήν να μπορεί να συρρικνωθεί με συνεχή τρόπο σε σημείο (αυτοί οι χώροι λέγονται «απλά συνεκτικοί» στα μαθηματικά, παράδειγμα αποτελεί η σφαίρα, το torus δεν είναι απλά συνεκτικό) είναι ομοιομορφική με την γνωστή σφαίρα διάστασης 3” (ομοιομορφική σημαίνει πως υπάρχει απεικόνιση 1-1, επί, συνεχής με συνεχή αντίστροφη).
Η εικασία αυτή γενικεύεται και σε μεγαλύτερες διαστάσεις. Το «παράδοξο» είναι πως η απόδειξη της εικασίας ιστορικά άρχισε από τις μεγαλύτερες διαστάσεις, αφήνοντας την αρχική περίπτωση (διάσταση 3) για το τέλος. Αρχικά η μελέτη είχε επικεντρωθεί στις χαμηλές διαστάσεις (3 και 4) επειδή υπήρχε η πεποίθηση ότι οι πολλαπλότητες μεγάλης διάστασης είναι πιο πολύπλοκες. Η αλήθεια όμως είναι πως είναι μάλλον απλούστερες διότι υπάρχει «αρκετός χώρος» για να εφαρμοστούν διάφορες τεχνικές (πχ το λεγόμενο Whitney trick, θεωρία χειρουργικής, L-Theory κλπ). Πιο συγκεκριμένα, την περίοδο 1950-1970 η εικασία Poincaré αποδείχθηκε για πολλαπλότητες διάστασης μεγαλύτερης ή ίσης του 5 από τις εργασίες των R.Thom, J. Milnor και S. Smale (και οι τρεις κάτοχοι του Fields Medal). Στην πραγματικότητα αποδείχθηκε ένα θεώρημα που είναι αρκετά πιο ισχυρό από την εικασία Poincaré, το λεγόμενο θεώρημα των h-συνομοριών (h-cobordism theorem, το “h” προέρχεται από την λέξη “homotopic”, ομοτοπικός). Η εικασία αποδείχθηκε για την περίπτωση της διάστασης 4 από τον M. Freedman το 1982 (επίσης Fields Medal). H περίπτωση της διάστασης 3 αποδείχθηκε από τον G. Perelman το 2003 (επίσης Fields Medal αλλά το αρνήθηκε). Συνεπώς η (αυθεντική) εικασία Poincaré έχει πλέον αποδειχθεί σε όλες τις διαστάσεις. (Αξίζει εδώ να αναφερθεί ότι στον αιώνα που μεσολάβησε από την διατύπωση μέχρι την επίλυση της εικασίας στην διάσταση 3, σημαντική συνεισφορά υπήρξε και αυτή του Έλληνα Χρήστου Παπακυριακόπουλου, γνωστού του Κ. Καραθεοδωρή που απέδειξε το Λήμμα Dehn, το θεώρημα βρόγχου και το θεώρημα σφαίρας μεταξύ 1950-1960).
Υπάρχει όμως και η λεγόμενη λεία εικασία Poincaré που βασικά είναι ίδια με την παραπάνω αντικαθιστώντας την λέξη «ομοιομορφική» με τη λέξη «διαφορομορφική». Εδώ τα πράγματα είναι πιο πολύπλοκα (βλ. [7]). Η περίπτωση που ισχύει η τοπολογική αλλά όχι η λεία εικασία Poincaré οδηγεί στην ύπαρξη των λεγόμενων εξωτικών σφαιρών σε κάποιες διαστάσεις, δηλαδή χώρων που είναι ομοιομορφικοί αλλά όχι διαφορομορφικοί με την στάνταρ σφαίρα (βλ. πάλι [7]).
Ας δούμε όμως την κάθε διάσταση ξεχωριστά, αρχίζοντας από την πρώτη μη-τετριμμένη περίπτωση της διάστασης 2. Στην περίπτωση αυτή η κατηγοριοποίηση είχε επιτευχθεί σε κάποια μορφή πριν από την διατύπωση της εικασίας Poincaré, δηλαδή από τα μέσα του 19ου αιώνα. Αξίζει τον κόπο να αναφερθούμε λιγάκι πιο αναλυτικά στην περίπτωση αυτή για παιδαγωγικούς λόγους. Έστω ότι έχουμε μια κλειστή επιφάνεια μέσα στον Ευκλείδειο χώρο διάστασης 3. Αν θελήσουμε να μελετήσουμε τη ροή ενός υποθετικού ρευστού πάνω σε αυτή θα πρέπει να επιλύσουμε τις εξισώσεις
div (υ) = 0 και curl(u) =0
όπου υ η ταχύτητα του ρευστού (οι εξισώσεις αυτές είναι όμοιες με τις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου του Maxwell απουσία φορτίων, ρευμάτων και με σταθερά στο χρόνο πεδία). Αυτές είναι γραμμικές εξισώσεις συνεπώς το σύνολο των λύσεων συνιστά διανυσματικό χώρο. Αποδεικνύεται ότι η διάσταση του διανυσματικού χώρου είναι πεπερασμένη και δεν μεταβάλλεται εάν παραμορφώσουμε με συνεχή τρόπο την επιφάνεια. Το παραπάνω γενικεύεται και για τυχαία 2-πολλαπλότητα (δηλ όχι κατ’ ανάγκη εμφυτευμένη στον Ευκλείδειο χώρο διάστασης 3) εφοδιασμένη με μια Ρημάνεια μετρική: Η Ρημάνεια μετρική είναι τα δεδομένα που μας χρειάζονται για να κάνουμε γεωμετρία, δηλαδή για να ορίσουμε μήκη και γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων και κατ’ επέκταση τους διαφορικούς τελεστές div και curl. Υπάρχει ένας τεράστιος χώρος πιθανών Ρημάνειων μετρικών σε μια πολλαπλότητα διάστασης 2. Επιλέγουμε λοιπόν μια Ρημάνεια μετρική, σχηματίζουμε τα αντίστοιχα div και curl, επιλύουμε τις εξισώσεις και υπολογίζουμε την διάσταση του χώρου λύσεων. Αποδεικνύεται όμως το εξής «παράδοξο»: Η διάσταση του χώρου λύσεων δεν εξαρτάται από την επιλεγείσα Ρημάνεια μετρική, συνεπώς ουσιαστικά αποτελεί τοπολογική ιδιότητα της 2-πολλαπλότητας! Στην πραγματικότητα η διάσταση του χώρου λύσεων είναι ίση με την διαφορά 2-χ, όπου χ η χαρακτηριστική Euler της πολλαπλότητας (βλ. [8]).
Οι ιδέες αυτές γενικεύονται σε μεγαλύτερες διαστάσεις χρησιμοποιώντας την συνομολογία de Rham και τη θεωρία Hodge (αντικαθιστώντας τα διανυσματικά πεδία με διαφορικές μορφές). Ανεβαίνοντας και άλλο επίπεδο πολυπλοκότητας και γενικότητας συναντάμε τον τελεστή Dirac των σπινοριακών πεδίων (σχετικιστική κβαντική φυσική) και το περίφημο θεώρημα δείκτου Atiyah-Singer.
Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με την συμπληρωματική ερώτηση της κατασκευής διαφορομορφισμών μεταξύ πολλαπλοτήτων διάστασης 2. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να δείξουμε ότι κάθε πολλαπλότητα διάστασης 2 με χαρακτηριστική Euler ίση με 2 (αποδεικνύεται ότι η σφαίρα έχει χαρακτηριστική Euler ίση με 2) είναι διαφορομορφική με την σφαίρα. Μια γεωμετρική προσέγγιση είναι η απόδειξη της ύπαρξης μιας Ρημάνειας μετρικής με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Στην κλασική διαφορική γεωμετρία ορίζεται σε κάθε σημείο μιας επιφάνειας η καμπυλότητα Gauss, μια γενίκευση της έννοιας της καμπυλότητας μιας καμπύλης. Από το Θεώρημα Egregium του Gauss προκύπτει ότι η καμπυλότητα Gauss μπορεί να ορισθεί και για οποιαδήποτε πολλαπλότητα διάστασης 2 εφοδιασμένη με μια Ρημάνεια μετρική. Συνεπώς μπορούμε να ψάξουμε για μετρικές με σταθερή καμπυλότητα Gauss και στην περίπτωσή μας (σφαίρα) με καμπυλότητα ίση με 1. Αποτελεί μια σχετικά απλή άσκηση να αποδειχθεί ότι εάν υπάρχει μια τέτοια μετρική υπάρχει μοναδικός (μόντουλο περιστροφών της σφαίρας) διαφορομορφισμός από την πολλαπλότητα στη σφαίρα που απεικονίζει την μετρική στην στάνταρ μετρική, συνεπώς η πολλαπλότητα είναι πράγματι διαφορομορφική με τη σφαίρα.
Αρκετά με την γενική στρατηγική αυτής της προσέγγισης, μας απέμεινε το κρίσιμο πρόβλημα της απόδειξης ύπαρξης μιας Ρημάνειας μετρικής με καμπυλότητα Gauss 1 πάνω σε μια πολλαπλότητα διάστασης 2 χρησιμοποιώντας μόνο την υπόθεση ότι η χαρακτηριστική Euler της πολλαπλότητας είναι 2. Αυτό μπορεί να αναχθεί στην επίλυση μιας πολύπλοκης μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με μερικές παραγώγους με άγνωστες τις συνιστώσες της Ρημάνειας μετρικής. Ο πιο εύκολος τρόπος απόδειξης είναι με τη χρήση μιας άλλης δομής, αυτής της επιφάνειας Ρήμαν (μιγαδική πολλαπλότητας) αλλά δεν θα επεκταθούμε περαιτέρω. Ας αρκεστούμε στο γεγονός ότι η υπόθεση πως η χαρακτηριστική Euler είναι ίση με 2 χρησιμοποιείται στην δήλωση ότι δεν υπάρχουν μη-μηδενικές ροές διανυσματικών πεδίων και στην λεγόμενη «εναλλακτική Fredholm» της συναρτησιακής ανάλυσης.
Ας δούμε τι συμβαίνει στην διάσταση 3. Νέες αναλλοίωτες ποσότητες ανακαλύφθηκαν τα τελευταία 20 χρόνια για πολλαπλότητες διάστασης 3 όπως η αναλλοίωτη Casson και η συνομολογία Donaldson-Floer καθώς και αναλλοίωτες ποσότητες τύπου Jones-Witten που προέρχονται από την κβαντική θεωρία πεδίων. Όσον αφορά την κατασκευή διαφορομορφισμών μεταξύ 3-πολλαπλοτήτων συναντάμε την εικασία Poincaré που υποδηλώνει ότι κάθε απλά συνεκτική συμπαγής 3-πολλαπλότητα είναι διαφορομορφική με την 3-σφαίρα (θυμηθείτε ότι στην διάσταση 3 δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ ομοιομορφισμού, διαφορομορφισμού και κατά τμήματα γραμμικής απεικόνισης/δομής, άρα η αυθεντική και η λεία εικασία Poincaré ταυτίζονται). Η πρόταση αυτή είναι το αντίστοιχο του προβλήματος για τις 2-πολλαπλότητες που περιγράψαμε παραπάνω όπου η συνθήκη της απλής συνοχής αντικαθίσταται από την υπόθεση ότι η χαρακτηριστική Euler είναι ίση με 2. Το ερώτημα απαντήθηκε από τον G.Perelman το 2003 με μια στρατηγική παρόμοια με αυτή που περιγράψαμε για τις 2-πολλαπλότητες: Μια Ρημάνεια μετρική σε μεγαλύτερες από 2 διαστάσεις, αντί της καμπυλότητας Gauss έχει έναν πολύπλοκο τανυστή καμπυλότητας από τον οποίο κατασκευάζεται ένα απλούστερο γεωμετρικό αντικείμενο, ο λεγόμενος τανυστής Ricci. Είναι η ποσότητα που εμφανίζεται στην εξίσωση πεδίου του Einstein στην Γενική Θεωρία Σχετικότητας (διάσταση 4). Στην πραγματικότητα μπορεί να γραφεί μια ανάλογη εξίσωση με του Einstein στην περίπτωσή μας (διάσταση 3) που υποδηλώνει ότι ο τανυστής Ricci είναι ανάλογος της μετρικής. Στην διάσταση 3 ο τανυστής Ricci εμπεριέχει την ίδια πληροφορία με τον πλήρη τανυστή καμπυλότητας (βλ. [9]) οπότε είναι εύκολο να αποδειχθεί πως μια απλά συνεκτική 3-πολλαπλότητα που επιδέχεται μια λύση της “εξίσωσης Einstein” είναι διαφορομορφική με την 3-σφαίρα. Συνεπώς το πρόβλημα ανάγεται στην κατασκευή τέτοιων μετρικών Ρήμαν (αυτές λέγονται και μετρικές Einstein, μετρικές που ικανοποιούν την εξίσωση Einstein).
Οι εργασίες του Perelman ακολουθούν την στρατηγική που αναπτύχθηκε εδώ και 30 χρόνια από τον R. Hamilton: Ορίζουμε μια έξτρα χρονική μεταβλητή και μελετάμε μια μονοπαραμετρική οικογένεια μετρικών σε μια 3-πολλαπλότητα που ικανοποιούν την αντίστοιχη εξίσωση χρονικής εξέλιξης. Ξεκινώντας με μια αυθαίρετη αρχική μετρική κατά την χρονική στιγμή t=0 προσπαθούμε να αποδείξουμε πως κατόπιν κατάλληλης αλλαγής κλίμακας, οι μετρικές που παράγονται από την εξίσωση χρονικής εξέλιξης συγκλίνουν σε μια μετρική Einstein. Υπήρχαν πολύ δύσκολα αναλυτικά προβλήματα που θα έπρεπε να επιλυθούν για να καταλήξει κανείς στο ποθούμενο, το κατάφερε ο Perelman. Στην πραγματικότητα ο Perelman δεν απέδειξε μόνο την εικασία Poincaré αλλά μια αρκετά πιο γενική και ισχυρή πρόταση (από την οποία η εικασία Poincaré προκύπτει ως πόρισμα), τη λεγόμενη «εικασία γεωμετροποίησης του Thurston» (άλλος μεγάλος μαθηματικός, επίσης κάτοχος του Fields Medal) που δηλώνει πως κάθε 3-πολλαπλότητα (όχι κατ’ ανάγκη απλά συνεκτική) μπορεί να αναλυθεί με συγκεκριμένο και πλήρως ελεγχόμενο τρόπο σε:
(α) Κομμάτια καθένα από τα οποία επιδέχεται μια μετρική Einstein ή
(β) Σε μια μικρή οικογένεια άλλων ειδικών δομών.
Η εικασία γεωμετροποίησης του Thurston που ουσιαστικά απέδειξε ο Perelman κατά μια έννοια επιλύει πλήρως το πρόβλημα της κατηγοριοποίησης των 3-πολλαπλοτήτων.
Ερχόμαστε τώρα στην διάσταση 4. Εδώ υπάρχει αυξημένο ενδιαφέρον διότι από την Γενική Θεωρία Σχετικότητας γνωρίζουμε πως η διάσταση του σύμπαντος (τουλάχιστον μακροσκοπικά) είναι 4. Περιοριζόμαστε σε απλά συνεκτικές, συμπαγείς (και προσανατολισμένες) 4-πολλαπλότητες. Στάνταρ εργαλεία της αλγεβρικής τοπολογίας «αλγεβροποιούν» το πρόβλημα της κατηγοριοποίησης αυτών των 4-πολλαπλοτήτων με σχέση ισοδυναμίας τον διαφορομορφισμό και το ανάγουν στο πρόβλημα της κατηγοριοποίησης της λεγόμενης μορφής διατομής επί μιας ελεύθερης Αβελιανής ομάδας (2η ομολογική ομάδα). Σχεδόν τίποτε δεν ήταν γνωστό για το πρόβλημα αυτό μέχρι τις αρχές της δεκαετίας του 1980 όπου εμφανίστηκε στην Οξφόρδη ο νεαρός τότε μεταπτυχιακός διδακτορικός φοιτητής Simon Kirwan Donaldson οι εργασίες του οποίου σύμφωνα με τα λόγια του μεγάλου Atiyah, «άφησαν την διεθνή μαθηματική επιστημονική κοινότητα άφωνη»! (βλ. [10]).
Η γενική στρατηγική που ακολούθησε ο Donaldson στην κατασκευή των αναλλοίωτων ποσοτήτων (που αργότερα προς τιμή του ονομάστηκαν «πολυωνυμικές αναλλοίωτες Donaldson”, αυτές χονδρικά αποτελούν το ανάλογο της χαρακτηριστικής Euler που είδαμε στην διάσταση 2) μοιάζει με αυτή των 2-πολλαπλοτήτων. Αντί για τις εξισώσεις της «ρευστομηχανικής» που αναφέραμε πιο πάνω, ο Donaldson χρησιμοποίησε την αναλογία με τις εξισώσεις Maxwell της φυσικής αλλά σε πιο πολύπλοκη μορφή, αυτή των εξισώσεων Yang-Mills (βλ. [11]). Ουσιαστικά ο Donaldson χρησιμοποίησε ένα μέρος των εξισώσεων αυτών, την λεγόμενη εξίσωση των ίνσταντονς. Η βασική εργασία συνεπώς του Donaldson ήταν η κατασκευή αναλλοίωτων ποσοτήτων για 4-πολλαπλότητες από το χώρο πηλίκο των λύσεων της εξίσωσης των ίνσταντονς στηριζόμενος στην περίφημη κατασκευή ADHMP (από τα αρχικά των ονομάτων Atiyah, Drinfeld, Hitcin, Manin, Penrose, αυτό αποτελεί και μια σημαντική εφαρμογή των συστροφικών χώρων, twistor spaces του Penrose). Με την χρήση των πολυωνυμικών αναλλοιώτων Donaldson κατέστη δυνατό να αποδειχθεί ότι κάποιες μεγάλες οικογένειες 4-πολλαπλοτήτων με την ίδια μορφή διατομής (άρα από την εργασία του Freedman ομοιομορφικές) είναι τελείως διαφορετικές όσον αφορά τους διαφορομορφισμούς. Άμεσο πόρισμα αυτού του αποτελέσματος είναι η ύπαρξη των λεγόμενων εξωτικών δομών στον Ευκλείδειο χώρο R4. To φαινόμενο αυτό συμβαίνει μόνο στην διάσταση 4! (Δηλαδή ενώ εξωτικές σφαίρες συναντώνται σε διάφορες διαστάσεις, εξωτικοί Ευκλείδειοι χώροι, δηλαδή χώροι ομοιομορφικοί αλλά όχι διαφορμορφικοί με τον στάνταρ Ευκελίδειο χώρο υπάρχουν μόνο στην διάσταση 4, το αποτέλεσμα αυτό δημιούργησε πρωτοσέλιδο στους Times, κάτι εξαιρετικά σπάνιο για εργασία στα καθαρά μαθηματικά). Την δεκαετία του 1990 ο Clifford Taubes από το Χάρβαρντ απέδειξε πως υπάρχουν υπεραριθμήσιμες (δηλαδή άπειρες με τον πληθάριθμο του συνεχούς, δηλαδή άλεφ 1) τέτοιες εξωτικές δομές στον R4. Τα παραπάνω υποδηλώνουν ότι γεωμετρικά η πιο ενδιαφέρουσα διάσταση είναι η 4 (άραγε είναι «τυχαίο» που το σύμπαν έχει μακροσκοπικά διάσταση 4? Οι διάφορες θεωρίες της φυσικής όπως υπερχορδές, Μ-Θεωρία κλπ που λειτουργούν σε διαστάσεις 10 και 11 αντίστοιχα, από μαθηματικής πλευράς είναι απλούστερες).
Στην δεκαετία του 1990 εμφανίστηκε ο λεγόμενη θεωρία Seberg-Witten για τις 4-πολλαπλότητες. Αντί της εξίσωσης των ίνσταντονς χρησιμοποιείται η λεγόμενη εξίσωση των μονόπολων. Το κίνητρο προέρχεται από τoν λεγόμενo S-δυϊσμό στις υπερσυμμετρικές θεωρίες βαθμίδας (Yang-Mills) που εναλλάσσει φορτία και μονόπολα (κάτι σαν την συμμετρία του μαγνητικού και του ηλεκτρικού πεδίου των εξισώσεων Maxwell απουσία φορτίων και ρευμάτων). Η θεωρία αυτή μιμείται ακριβώς την προσέγγιση Donaldson και έχει σε κάποιες περιπτώσεις το πλεονέκτημα ότι ο χώρος πηλίκο των λύσεων συμπεριφέρεται καλύτερα (είναι πιο «εξημερωμένος» και δεν χρειάζεται τις απίστευτες αναλυτικές τεχνικές της θεωρίας του Donaldson). Η θεωρία του Donaldson έδωσε το έναυσμα στον Ε. Witten (τον μεγαλύτερο μαθηματικό φυσικό της εποχής, επίσης κάτοχο του Fields Medal) να ορίσει τις λεγόμενες τοπολογικές κβαντικές θεωρίες πεδίων (Donaldson-Witten topological quantum field theory) στις οποίες οι κβαντικές συναρτήσεις συσχετισμού (correlation functions) δίδονται από τις πολυωνυμικές αναλλοίωτες Donladson. Οι θεωρίες αυτές αποτελούν τα μοναδικά γνωστά παραδείγματα κβαντικών θεωριών που είναι γενικά συναλλοίωτες (βλ. [12]).
Οι αναγνώστες που ενδιαφέρονται να εντρυφήσουν στην εργασία του Donaldson και στον μαγικό και θαυμαστό κόσμο των πολλαπλοτήτων διάστασης 4 μπορούν να δουν για παράδειγμα το βιβλίο (προειδοποιούμε ότι δεν αποτελεί εισαγωγικό βιβλίο)
“The Geometry of 4-manifolds”, S.Donaldson and P.Kronheimer, Oxford University Press (1998).
Σημειώσεις:
[1]. Ο Andrew Wiles σπούδασε σε Οξφόρδη, Κέιμπριτζ, ήταν καθηγητής στην Οξφόρδη 1988-1990, επί του παρόντος καθηγητής στο Πρίνστον αλλά ανακοινώθηκε ότι θα επιστρέψει στην Οξφόρδη ως Royal Society Professor από το φθινόπωρο του 2011. Ο Richard Taylor σπούδασε σε Κειμπριτζ και Πρίνστον, ήταν καθηγητής στην Οξφόρδη, επί του παρόντος είναι καθηγητής στο Χάρβαρντ. Είναι γνωστό πως ο Wiles δεν τιμήθηκε με το Fields Medal, την μεγαλύτερη διεθνώς διάκριση στα μαθηματικά διότι όταν συμπλήρωσε την απόδειξη είχε ξεπεράσει το όριο των 40 ετών κατά λίγους μήνες.
[2]. Τα τελευταία 20 χρόνια αναπτύσσεται και η λεγόμενη μη-μεταθετική γεωμετρία (των Alain Connes, Daniel Quillen, κάτοχοι του Fields Medal) που υπό κάποια οπτική γωνία αποτελεί μια προσπάθεια συγκερασμού των δύο.
[3]. Είναι σαφές πως επειδή η επιφάνεια της γης είναι σφαιρική, η σφαίρα αποτελεί πολλαπλότητα και οι πολλαπλότητες τοπικά μοιάζουν με τον Ευκλείδειο χώρο, οι Αρχαίοι ημών πρόγονοι «δικαιολογούνταν» που πίστευαν πως η γη ήταν επίπεδη!
[4]. Υπάρχει διαφοροποίηση μεταξύ των πολλαπλοτήτων, γενικά υπάρχουν 3 είδη πολλαπλοτήτων: Οι τοπολογικές πολλαπλότητες, οι λείες πολλαπλότητες και οι κατά τμήματα γραμμικές (piecewise linear) πολλαπλότητες. Στην μαθηματική ορολογία μιλάμε για τις κατηγορίες TOP, DIFF και PL αντίστοιχα. Περισσότερο έχουν μελετηθεί οι τοπολογικές και οι λείες, χονδρικά η διαφορά τους είναι ανάλογη με την διαφορά συνεχών και διαφορίσιμων συναρτήσεων στην ανάλυση. Στις διαστάσεις 1,2 και 3 δεν υπάρχει διαφορά. Στην διάσταση 4 οι PL και DIFF ταυτίζονται. Πάνω από την διάσταση 6 είναι όλες διαφορετικές.
[5]. Η ίδια λογική χρησιμοποιείται και στην περίπτωση των ποικιλιών στην Αλγεβρική γεωμετρία: Μια (αλγεβρική) αφφινική ποικιλία διάστασης n είναι ένας χώρος που τοπικά μοντελοποιείται πάνω στον Αφφινικό (ομοπαραλληλικό) χώρο (affine space) διάστασης n. Ένα σχήμα (κατά Grothendieck) είναι ένας χώρος που τοπικά μοντελοποιείται πάνω σε ένα δίκτυο μεταθετικών δακτυλίων (ένα προ-δράγμα ή δράγμα δακτυλίων, pre-sheaf, sheaf). Ένας μη-μεταθετικός χώρος (ή «κβαντική πολλαπλότητα») που μελετά η μη-μεταθετική γεωμετρία είναι ένας χώρος που τοπικά μοντελοποιείται πάνω σε μια (εν γένει μη-μεταθετική) άλγεβρα τελεστών (Banch algebra, C*-algebra κλπ).
[6]. Υπάρχουν 3 βασικές σχέσεις ισοδυναμίας: η ομοτοπία, ο ομοιομορφισμός και ο διαφορομορφισμός. Η διαφορά των 2 τελευταίων χονδρικά είναι ανάλογη της διαφοράς συνεχών και διαφορίσιμων συναρτήσεων στην ανάλυση. Η ομοτοπία είναι ευρύτερη του ομοιομορφισμού: Δυο απεικονίσεις είναι ομοτοπικές εάν μπορεί να παραμορφωθεί η μια στην άλλη με συνεχή τρόπο (δηλαδή μέσω μιας μονοπαραμετρικής οικογένειας συνεχών απεικονίσεων). Διαισθητικά είναι δύσκολο να κατανοήσει κανείς την διαφορά ομοτοπίας και ομοιομορφισμού, ουσιαστικά η εικασία Poincaré υποδηλώνει ότι σε κάποιες περιπτώσεις ταυτίζονται (για απλά συνεκτικές πολλαπλότητες).
[7]. Συγκεντρωτικά μπορεί κανείς να διατυπώσει την λεγόμενη γενικευμένη εικασία Poincaré ως εξής: Κάθε ομοτοπική n-σφαίρα είναι ισόμορφη με την κανονική n-σφαίρα στην επιλεγείσα κατηγορία (δηλαδή ομοιομορφική, διαφορομορφική ή PL-ισόμορφη στις κατηγορίες TOP, DIFF και PL αντίστοιχα). Η εικασία είναι σωστή στην κατηγορία TOP σε όλες τις διαστάσεις. Στην κατηγορία PL είναι σωστή σε όλες τις διαστάσεις πλην της διάστασης 4 (που δεν γνωριζουμε εάν ισχύει ή όχι). Στην κατηγορία DIFF έχει πλέον εστιαστεί το ενδιαφέρον, γενικά είναι λάθος, κάποιες διαστάσεις είναι γνωστές, κάποιες άλλες όχι: Είναι γνωστό ότι ισχύει η λεία εικασία Poincaré στις διαστάσεις 1,2,3, 5 και 6. Είναι γνωστό πως δεν ισχύει στην διάσταση 7 αλλά και αλλού (βλ. πίνακα παρακάτω). Πρώτη άγνωστη διάσταση της λείας εικασίας Poincaré είναι η διάσταση 4. Στην περίπτωση που ισχύει η τοπολογική και όχι η λεία εικασία Poincaré, εμφανίζονται οι λεγόμενες εξωτικές σφαίρες, δηλαδή χώροι ομοιομορφικοί αλλά όχι διαφορομορφικοί με την στάνταρ σφαίρα. Η πρώτη εξωτική σφαίρα κατασκευάστηκες το 1956 από τον J. Milnor στην διάσταση 7. Το παρακάτω πινακάκι συνοψίζει όσα είναι σήμερα γνωστά για τις εξωτικές σφαίρες.
Dimension | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
Number of spheres | 1 | 1 | 1 | ? | 1 | 1 | 28 | 28 |
| 6 | 992 | 1 | 3 | 2 | 16256 | 2 | 16 | 16 |
[8]. Ο ορισμός της χαρακτηριστικής Euler είναι πολύπλοκος και δεν θα τον αναφέρουμε, διαισθητικά μόνο θα πούμε πως για μια προσανατολίσιμη επιφάνεια είναι ίσος με την διαφορά 2-2g, όπου g το γένος, το πόσες τρύπες έχει η επιφάνεια, πχ η σφαίρα έχει γένος 0, το ντόνατ (torus) έχει γένος 1 κλπ. Άρα η χαρακτηριστική Euler της σφαίρας είναι 2 διότι έχει γένος 0.
[9]. Στην διάσταση 3 δεν υπάρχουν διαδιδόμενα βαρυτικά κύματα ενώ στην διάσταση 4 η διαφορά είναι ο τανυστής καμπυλότητας Weyl που παίζει κρίσιμο ρόλο στις κοσμολογικές θεωρίες του R. Penrose (πχ στο λεγόμενο Big Crunch).
[10]. Ο Simon Kirwan Donaldson γεννήθηκε το 1957 στο Κέιμπριτζ. Σπούδασε μαθηματικά στο Κέιμπριτζ και έκανε διδακτορικό στην Οξφόρδη με την καθοδήγηση του M.F. Atiyah. Το 1986 ο Donaldson τιμήθηκε φυσικά με το Fields Medal (αλλά και με πλήθος άλλων διακρίσεων αργότερα) για την δουλειά του στις 4-πολλαπλότητες. Για το Fields Medal υπάρχει ο περιορισμός ότι ο αποδέκτης πρέπει να είναι κάτω των 40 ετών, ο Donaldson (και ο Serre) ήταν οι μόνοι κάτω των 30! Ένα χρόνο πριν (1985) ο Donaldson αναγορεύτηκε στην Οξφόρδη και Wallis Professor of Geometry. Οι στατιστικές δείχνουν ότι είναι ο δεύτερος μικρότερος σε ηλικία καθηγητής (named chair και όχι personal chair) σε Οξφόρδη ή Κείμπριτζ σε οποιαδήποτε επιστήμη (ο πρώτος ήταν ο…Ισαάκ Νεύτων!) Τα χρόνια που ο γράφων μελετούσε για το διδακτορικό του δίπλωμα στην Οξφόρδη, είχε την εξαιρετική τύχη και τιμή ο Donaldson να είναι μέλος της τριμελούς επιτροπής του αλλά και διευθυντής μεταπτυχιακών σπουδών. Οι διαλέξεις του, οι συζητήσεις αλλά και οι παρατηρήσεις αποτελούν για τον γράφοντα πολύτιμες και αγαπημένες αναμνήσεις, ουσιαστικά εμπειρίες ζωής. Στους φοιτητές του στην Οξφόρδη είναι γνωστός με το παρατσούκλι «Ο Ράφτης», (the tailor) διότι στο δυσκολότατο πρόβλημα της «εξημέρωσης» –συμπαγοποίησης κλπ-- του χώρου πηλίκου των λύσεων της εξίσωσης των ίνσταντονς είχε αναπτύξει διάφορες απίστευτα πολύπλοκες αναλυτικές τεχνικές με την ονομασία “κολάρο Donaldson” και “κοστούμι Donaldson”, τα μαθηματικά μπορεί να είναι και διασκεδαστικά και οι άνθρωποι αυτοί σίγουρα έχουν και εξαιρετικό χιούμορ!
[11]. Μέχρι σήμερα γνωρίζουμε ότι στη φύση υπάρχουν 4 αλληλεπιδράσεις: Οι ηλεκτρομαγνητικές που περιγράφονται κλασικά από τις εξισώσεις Maxwell, οι βαρυτικές που περιγράφονται από τις εξισώσεις Einstein της Γενικής Θεωρίας Σχετικότητας, οι ασθενείς πυρηνικές και οι ισχυρές πυρηνικές. Οι δυο τελευταίες περιγράφονται κλασικά μέσω των λεγόμενων εξισώσεων Yang-Mills. Τα ίνσταντονς, ή τοπολογικά σωμάτια, ανακαλύφθηκαν πρώτα από τους φυσικούς (‘t Hooft, Polyakov) ως σολιτονικές (τοπολογικές) λύσεις των εξισώσεων Yang-Mills. Σε κβαντικό επίπεδο αναπαριστούν το γραμμικό κομμάτι των κβαντικών διαταραχών (δηλαδή αντιπροσωπεύουν την βασική συνεισφορά στα transition amplitudes, πλάτη μετάπτωσης, πιθανότητες διασπάσεων που μετρώνται στους επιταχυντές όπως ο LHC στο CERN).
[12]. Ως γνωστό η Γενική Θεωρία Σχετικότητας στηρίζεται σε δύο φυσικές αρχές: Την αρχή του συναλλοιώτου και την αρχή της ισοδυναμίας. Μια ενοποιημένη θεωρία που θα συμπεριλαμβάνει και την βαρύτητα οπωσδήποτε θα πρέπει να ενσωματώνει αυτές τις δυο αρχές.
* Μαθηματικός Φυσικός, (M.Sc Cantab, D.Phil Oxon)
πηγή: Αντίφωνο
Θαυμάσιο άρθρο, αναπόδραστα τεχνικό που ίσως δυσκολέψει πολλούς αλλά πιστεύω πολύ διαφωτιστικό και χρήσιμο για όσους ενδιαφέρονται για γεωμετρία (μαθηματικά γενικότερα, πχ φοιτητές). Δυστυχώς αυτά τα θέματα αιχμής (state of the art που λένε) στην Ελλάδα δεν τα δουλεύουν, μόνο ίσως ο Ρασσιάς που ήταν μαθητής του Smale μπορεί να καταλαβαίνει. Ο καλύτερος γεωμέτρης που υπήρχε στην Ελλάδα μέχρι πριν μερικά χρόνια ήταν ο Καπουλέας στη Θεσ/κη, δυστυχώς τον έδιωξαν τα "παλλικάρια" και γύρισε στο Brown στις ΗΠΑ. Κρίμα που στην Ελλάδα δεν υπάρχει σύγχρονη γεωμετρία (εκτός αυτού του περιορισμένου και παλαιομοδίτικου κομματιού που λέγεται μετρική γεωμετρία). Θέλω όμως να γράψω και κάτι άλλο και ζητώ προκαταβολικά συγγνώμη από τον συγγραφέα: Τον John τον γνώρισα το 2002 αν θυμάμαι καλά στον Αγ. Στέφανο στο Παρίσι (την ελληνική ορθόδοξη εκκλησία), ήμουν εκεί για κάποια επέτειο του Ηλιόπουλου (του σημαντικότερου έλληνα θεωρητικού φυσικού, του μοναδικού που θα άξιζε ίσως Νομπέλ, θυμίζω top quark, GIM Mechanism κλπ) μαζί με μερικά ιερά τέρατα ('t Hooft, Gross, Jackiw, Glashow κλπ) και εκείνος ήταν στο IHES (τα "ιερά δισκοπότηρα" των μαθηματικών μαζί με το IAS). Με κάλεσε σε ένα σεμινάριο Bourbaki (από τα περίφημα της Legacy του Grothendieck) που μίλησε για την δική του προσέγγιση στην εικασία στην διάσταση 3 χρησιμοποιώντας το Zois invariant για φυλλώδεις δομές (με χρήση τεχνικών μη-μεταθετικής γεωμετρίας, pairing between K-homology & cyclic cohomology) και του χώρου πηλίκου του Gabai για taut foliations. Eίχα ενθουσιαστεί θυμάμαι από την διάλεξή του. Yπήρχε φυσικά η προσέγγιση Hamilton (που ακολούθησε ο Pertelman) καθώς και η προσέγγιση Peonaru. Τελικά πρώτος το νήμα το έκοψε ο Perelman...